Notions de base
\((E,+,\cdot,\times)\) est dite une \(\Kset\)-algèbre si :
\((E,+,\cdot)\) est un \(\Kset\)-espace vectoriel.
\((E,+,\times)\) est un anneau.
L’application “produit” \(f : E \times E \to E\) définie par \((x,y) \mapsto xy\) est bilinéaire. Après calculs, on obtient que pour tout \(x,y \in E\) et \(\lambda \in \Kset\) :
\((\lambda x)y = \lambda(xy)\)
\(x(\lambda y) = \lambda(xy)\)
Si l’anneau \((E,+,\times)\) est commutatif (resp. intègre), alors l’algèbre \((E,+,\cdot,\times)\) est dite commutative (resp. intègre).
On dit que \((A,+,\times)\) est un anneau si :
\((A,+)\) est un groupe abélien/commutatif.
\(\times\) est associative dans \(A\) et admet un élément neutre \(1_A\).
\(\times\) est distributive (à gauche et à droite) par rapport à \(+\), i.e. : \[\begin{cases} \forall x,y,z \in A, \quad x(y+z) = xy + xz \\ \forall x,y,z \in A, \quad (x+y)z = xz + yz \end{cases}\] Si la loi \(\times\) est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Un anneau est par définition unitaire.
Par définition, le produit est bilinéaire si et seulement si pour tous \(x, y \in E\), les applications partielles \(L_x : z \mapsto xz\) et \(R_y : z \mapsto zy\) sont linéaires.
Or, l’additivité de ces applications partielles est déjà garantie par la structure d’anneau de \((E,+,\times)\) via la distributivité : \[(x_1 + x_2)y = x_1 y + x_2 y \quad \text{et} \quad x(y_1 + y_2) = xy_1 + xy_2\] Une application additive (\(\forall x,y \in E, \varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)\)) entre espaces vectoriels étant linéaire si et seulement si elle est homogène (\(\forall \lambda \in \Kset, \, \varphi(\lambda z) = \lambda \varphi(z)\)), la bilinéarité se ramène strictement aux deux conditions d’homogénéité : \[\forall (x,y) \in E^2, \quad \forall \lambda \in \Kset, \quad (\lambda x)y = \lambda(xy) = x(\lambda y)\]
Algèbre des matrices : \((\mathcal M_n(\Kset),+,\cdot,\times)\) est une \(\Kset\)-algèbre non commutative et non intègre si \(n \geq 2\). En effet, \(E_{1,1} \times E_{1,2} = E_{1,2}\) mais \(E_{1,2} \times E_{1,1} = 0\).
Algèbre des endomorphismes : \((\mathcal L(E),+,\cdot,\circ)\) est une \(\Kset\)-algèbre non commutative et non intègre si \(\dim E \geq 2\). En effet, \(\mathcal L(E)\) est isomorphe à \(\mathcal M_n(\Kset)\) avec \(n = \dim E\). Son élément unité est l’application identité \(\Id_E\).
Algèbre des polynômes : \((\Kset[X],+,\cdot,\times)\) est une \(\Kset\)-algèbre commutative et intègre. Son élément unité est le polynôme constant \(1 \in \Kset[X]\). Utiliser la loi rond \(\circ\) au lieu de \(\times\) n’est pas possible parce que la distributivité n’est pas conservée ; les polynômes ne sont pas des applications linéaires, ce qui fait que \((\Kset[X],+,\circ)\) n’est pas un anneau, et donc \((\Kset[X],+,\cdot,\circ)\) n’est pas une algèbre.
Algèbre des applications de \(I\) vers \(\R\) : \((\R^I, +,\cdot,\times)\) est une \(\Kset\)-algèbre avec \(x+y : t \mapsto x(t) + y(t)\) et \(xy : t \mapsto x(t)y(t)\). Son élément unité est l’application \(1_{\R^I} : t \mapsto 1\) de \(I \to \R\). Il s’agit d’une algèbre commutative mais non intègre (même en se restreignant à des applications continues !). En effet, en posant \(x(t) = t + |t|\) et \(y(t) = t - |t|\) (non nulles), on trouve que \(xy = t^2 - |t|^2 = 0\).
Soit \(E\) une \(\Kset\)-algèbre.
\(S\) est dite sous-algèbre de \(E\) si \(S\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et un sous-anneau de \(E\).
Un sous-anneau \(S\) d’un anneau \((A,+,\times)\) est un sous-ensemble \(S \subset A\) tel que :
\(S\) est non vide (il doit contenir au moins l’élément \(1_A\)).
\(S\) est stable par addition et multiplication, c’est-à-dire : \[\forall x,y \in S, \quad x+y \in S \et x\times y \in S\]
\(S\) est une sous-algèbre de \(E\) si et seulement si :
\(1_E \in S\)
\(\forall x,y \in S, \forall \lambda \in \Kset, \begin{cases} \lambda x + y \in S \\ xy \in S\end{cases}\)
Le sens direct découle immédiatement de la définition d’une sous-algèbre unitaire. Réciproquement, supposons ces conditions vérifiées :
Comme \(1_E \in S\), la partie \(S\) est non vide. La stabilité par combinaisons linéaires (\(\lambda x + y \in S\)) en fait donc un sous-espace vectoriel de \((E,+,\cdot)\).
Cette structure vectorielle garantit déjà la stabilité par soustraction (pour \(\lambda = -1\)), ce qui assure que \((S,+)\) est un sous-groupe additif. En y ajoutant la stabilité par produit (\(xy \in S\)) et la présence de l’unité (\(1_E \in S\)), \(S\) est également un sous-anneau de \((E,+,\times)\).
\(S\) hérite de la structure d’algèbre unitaire.
\(T_n^s(\Kset)\) (l’ensemble des matrices triangulaires supérieures) est une sous-algèbre de \(\mathcal M_n(\Kset)\). En effet : \(x \in T_n^s(\Kset) \iff \forall i > j, x_{i,j} = 0\). On peut alors retrouver les conditions de caractérisation d’une sous-algèbre :
\(I_n\) est diagonale donc triangulaire supérieure.
Si \(i > j\), on a \((xy)_{ij} = \sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj}\). Dans le cas où \(i \le k\) et \(k \le j\), on aura \(i \le j\) ce qui est absurde. Donc \(\forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket\), on a \(i > k\) ou \(k > j\), c’est-à-dire \(x_{ik} = 0\) ou \(y_{kj} = 0\). Par suite, \(x_{ik}y_{kj} = 0\) pour tout \(k \in \llbracket 1,n\rrbracket\) et donc \((xy)_{ij} = 0\) pour tout \(i > j\).
Clairement, \(\forall \lambda \in \Kset, \forall i > j, (\lambda x + y)_{ij} = \lambda x_{ij} + y_{ij} = 0\).
La stabilité est vérifiée et donc \(xy \in T_n^s(\Kset)\).
Morphismes d’algèbres et algèbres engendrées
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kset\)-algèbres. Une application \(f : E \to F\) est dite un morphisme d’algèbres si :
\(\forall (x,y) \in E^2,\forall \lambda \in \Kset, f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y) \et f(x\times y) = f(x)\times f(y)\)
\(f(1_E) = 1_F\)
Si \(S\) est une sous-algèbre de \(E\), alors \(u(S)\) est une sous-algèbre de \(F\), en particulier pour \(S = E\). Alors \(\Imf(u) = u(E)\) est une sous-algèbre de \(F\). En revanche, ce n’est pas vrai pour le noyau \(\Ker(u)\), qui est un sous-espace vectoriel de \(E\) mais jamais un sous-anneau parce qu’il ne contient pas l’élément unité \(1_E\) (car \(f(1_E) = 1_F \neq 0\)). Néanmoins, le noyau a une structure d’idéal de \(E\) ; il est absorbant car \(\forall x \in E, \forall y \in \Ker(u), xy \in \Ker(u)\).
En résumé :
\(\Imf(u)\) est une sous-algèbre de \(F\).
\(\Ker(u)\) est un idéal de \(E\). Il est bien bilatère, c’est-à-dire que \(E~\ker(u) \subset \ker(u)\), \(\ker(u)~E \subset \ker(u)\) et \((\ker(u),+)\) est un sous-groupe de \((E,+)\).
Un idéal \(I\) d’un anneau \((A,+,\times)\) est un sous-ensemble \(I \subset A\) tel que :
\(I\) est un sous-groupe de \((A,+)\).
\(I\) est absorbant par rapport à la multiplication, c’est-à-dire : \[\forall x \in A, \forall y \in I, \quad xy \in I \et yx \in I\] Qu’on peut aussi écrire \(AI \subset I\) et \(IA \subset I\).
Soit \(E\) une \(\Kset\)-algèbre, \(a \in E\), et \(f : \Kset[X] \to E\) l’application définie par \(f(P) = P(a)\) avec \(P(a) = \sum_{k=1}^n \lambda_k a^k + \lambda_0 \cdot 1_E\). Alors \(f\) est un morphisme d’algèbres. En effet, pour tout \(P,Q \in \Kset[X]\) et \(\lambda \in \Kset\), on a :
\(f(\lambda P + Q) = (\lambda P + Q)(a) = \lambda P(a) + Q(a) = \lambda f(P) + f(Q)\)
\(f(PQ) = (PQ)(a) = P(a)Q(a) = f(P)f(Q)\)
\(f(1_{\Kset[X]}) = 1_{\Kset[X]}(a) = 1_E\)
En conséquence, \(\Imf(f) = \{P(a) \mid P \in \Kset[X]\}\) est une sous-algèbre de \(E\) engendrée par l’élément \(a\). On la note \(\Kset[a]\). Il s’agit aussi de la plus petite sous-algèbre de \(E\) contenant \(a\).
\(\Kset[a] = \{P(a) \mid P \in \Kset[X]\}\) est la plus petite sous-algèbre de \(E\) contenant \(a\).
L’ensemble \(\Kset[a]\) est une sous-algèbre de \(E\) (image de \(\Kset[X]\) par le morphisme d’évaluation) et contient \(a = X(a)\).
Soit \(S\) une sous-algèbre de \(E\) contenant \(a\). Comme \(S\) est un sous-anneau unitaire, \(a^0 = 1_E \in S\), puis par stabilité sous le produit, \(a^k \in S\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). \(S\) étant également un sous-espace vectoriel, il est stable par combinaisons linéaires : pour tout \(P = \sum_{k=0}^n \lambda_k X^k \in \Kset[X]\), on a \(P(a) = \sum_{k=0}^n \lambda_k a^k \in S\).
On en déduit l’inclusion \(\Kset[a] \subset S\), ce qui établit que \(\Kset[a]\) est la plus petite sous-algèbre de \(E\) contenant \(a\).
Soient \(E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\). On pose : \[S = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} \;\middle|\; (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \right\} = \operatorname{Vect}\left(I_2, \, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)\] Montrons que \(\mathbb{R}[A] = S\).
1. Inclusion \(\mathbb{R}[A] \subset S\) : Le polynôme caractéristique de \(A\) donne la relation annulatrice : \[A^2 - \operatorname{tr}(A)A + \det(A)I_2 = A^2 - 2A - 3I_2 = 0\] Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la division euclidienne de \(X^n\) par \(P(X) = X^2 - 2X - 3 = (X+1)(X-3)\) s’écrit : \[X^n = Q(X)P(X) + a_n X + b_n\] En évaluant en \(X = -1\) et \(X = 3\), on obtient : \[\begin{cases} (-1)^n = -a_n + b_n \\ 3^n = 3a_n + b_n \end{cases} \iff \begin{cases} a_n = \frac{1}{4}\left(3^n - (-1)^n\right) \\ b_n = \frac{1}{4}\left(3^n + 3(-1)^n\right) \end{cases}\] Comme \(P(A) = 0\), il vient : \[A^n = a_n A + b_n I_2 = \begin{pmatrix} a_n + b_n & 2a_n \\ 2a_n & a_n + b_n \end{pmatrix} \in S\] \(S\) étant un sous-espace vectoriel stable par combinaison linéaire, pour tout \(Q \in \mathbb{R}[X]\), \(Q(A) = \sum \lambda_k A^k \in S\). Donc \(\mathbb{R}[A] \subset S\).
2. Inclusion \(S \subset \mathbb{R}[A]\) : Soit \(M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} \in S\). On cherche \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(M = x I_2 + y A\) : \[\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y & 2y \\ 2y & x + y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} y = \frac{\beta}{2} \\ x = \alpha - \frac{\beta}{2} \end{cases}\] Le système admet toujours une solution, d’où \(M \in \operatorname{Vect}(I_2, A) \subset \mathbb{R}[A]\), ce qui donne \(S \subset \mathbb{R}[A]\).
On conclut que \(\mathbb{R}[A] = S\).
En posant \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), on remarque que \(B^2 = I_2\) et \(A = I_2 + 2B\). Comme \(I_2\) et \(B\) commutent, la formule du binôme assure l’existence de scalaires \((\alpha_n, \beta_n)\) tels que : \[A^n = (I_2 + 2B)^n = \alpha_n I_2 + \beta_n B = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n \\ \beta_n & \alpha_n \end{pmatrix} \in S\]
Dans l’exemple précédent, on peut simplifier les expressions de \(\alpha_n\) et \(\beta_n\) trouvées. En effet, nous avons seulement utilisé le fait que la matrice \(B^2 = I_2\). On peut aussi prendre \(B = I_2\) pour que les calculs précédents donnent \(A = I_2 + 2I_2 = 3I_2\) et au final obtenir \(3^n I_2 = \alpha_n I_2 + \beta_n I_2 = (\alpha_n + \beta_n)I_2\). Par conséquent, on obtient \(\alpha_n + \beta_n = 3^n\).
On pourrait aussi prendre la matrice \(B = -I_2\) pour retrouver \(B^2 = I_2\) et obtenir \((-1)^n I_2 = \alpha_n I_2 - \beta_n I_2 = (\alpha_n - \beta_n)I_2\). Par conséquent, on obtient \(\alpha_n - \beta_n = (-1)^n\). En résolvant le système d’équations obtenu : \[\begin{cases} \alpha_n + \beta_n = 3^n \\ \alpha_n - \beta_n = (-1)^n\end{cases}\]
On trouve \(\alpha_n = \frac{3^n + (-1)^n}{2}\) et \(\beta_n = \frac{3^n - (-1)^n}{2}\). Ces expressions peuvent être différentes selon la base \((A,B)\) choisie, mais on retrouve la même expression pour \(A^n\).
Un idéal \(I\) de \(\Kset[X]\) est soit nul soit engendré par un polynôme unitaire \(P\) de \(\Kset[X]\). En effet, si \(I \neq \{0\}\), on peut choisir un polynôme \(P \in I\) de degré minimal (via double-inclusion dont un sens est démontré par division euclidienne) pour montrer que \(I = P_0 \Kset[X]\).
Dimension de l’algèbre engendrée par un élément
Soit \(a \in E\). L’ensemble \(I_a = \{P \in \Kset[X] \mid P(a) = 0\}\) est un idéal de \(\Kset[X]\), appelé l’idéal annulateur de \(a\). Deux cas disjoints se présentent :
Si \(I_a = \{0\}\), le morphisme d’évaluation induit un isomorphisme \(\Kset[X] \simeq \Kset[a]\). La famille \((a^k)_{k \in \mathbb{N}}\) est une base de \(\Kset[a]\) et \(\dim(\Kset[a]) = \infty\).
Si \(I_a \neq \{0\}\), il existe un unique polynôme unitaire \(\pi_a \in \Kset[X]\), appelé polynôme minimal de \(a\), tel que : \[I_a = \pi_a \Kset[X], \quad \text{c'est-à-dire} \quad P(a) = 0 \iff \pi_a \mid P\] En posant \(d = \deg(\pi_a)\), la famille \((1_E, a, a^2, \dots, a^{d-1})\) est une base de \(\Kset[a]\), et \(\dim(\Kset[a]) = d\).
Considérons le morphisme d’algèbres \(f : \Kset[X] \to \Kset[a]\) défini par \(P \mapsto P(a)\), surjectif par définition, de noyau \(\ker(f) = I_a\).
1. Cas \(I_a = \{0\}\) : L’application \(f\) est injective, donc est un isomorphisme d’espaces vectoriels. L’image de la base canonique \((X^k)_{k \in \mathbb{N}}\) de \(\Kset[X]\) par cet isomorphisme est \((f(X^k))_{k \in \mathbb{N}} = (a^k)_{k \in \mathbb{N}}\), qui constitue ainsi une base de \(\Kset[a]\). En particulier, \(\dim(\Kset[a]) = \infty\).
2. Cas \(I_a \neq \{0\}\) : L’anneau \(\Kset[X]\) étant principal, l’idéal non nul \(I_a\) admet un unique générateur unitaire noté \(\pi_a\), de degré minimal \(d = \deg(\pi_a) \ge 1\). Montrons que \(\mathcal{B} = (1_E, a, \dots, a^{d-1})\) est une base de \(\Kset[a]\) :
Liberté : Soit \((\lambda_0, \dots, \lambda_{d-1}) \in \Kset^d\) tel que \(\sum_{k=0}^{d-1} \lambda_k a^k = 0\). Le polynôme \(Q = \sum_{k=0}^{d-1} \lambda_k X^k\) vérifie \(Q(a) = 0\), donc \(Q \in I_a\), d’où \(\pi_a \mid Q\). Or, \(\deg(Q) \le d-1 < \deg(\pi_a)\), ce qui impose \(Q = 0\), et par identification \(\lambda_0 = \dots = \lambda_{d-1} = 0\). La famille est libre.
Génération : Pour tout \(x \in \Kset[a]\), il existe \(P \in \Kset[X]\) tel que \(x = P(a)\). La division euclidienne de \(P\) par \(\pi_a\) donne \(P = Q\pi_a + R\) avec \(\deg(R) < d\). Comme \(\pi_a(a) = 0\), on en déduit : \[x = P(a) = Q(a)\pi_a(a) + R(a) = R(a) \in \operatorname{Vect}(1_E, a, \dots, a^{d-1})\]
La famille \((1_E, a, \dots, a^{d-1})\) est libre et génératrice, c’est donc une base de \(\Kset[a]\), d’où \(\dim(\Kset[a]) = d\).
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \dots & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(n \ge 2\).
Un calcul direct donne \(A^2 = nA\), c’est-à-dire \(A^2 - nA = 0\). Le polynôme \(P(X) = X(X - n)\) est donc annulateur de \(A\), d’où : \[\pi_A \mid X(X - n) \implies \pi_A \in \{1, \, X, \, X - n, \, X(X - n)\}\] On élimine les diviseurs stricts :
\(\pi_A \neq 1\) car \(1(A) = I_n \neq 0\).
\(\pi_A \neq X\) car \(A \neq 0\).
\(\pi_A \neq X - n\) car \(A \neq n I_n\) (pour \(n \ge 2\)).
On en déduit que \(\pi_A = X^2 - nX\). Par conséquent, \(\deg(\pi_A) = 2\), la famille \((I_n, A)\) forme une base de \(\mathbb{R}[A]\) et \(\dim(\mathbb{R}[A]) = 2\).
Soit \(u \in \mathcal L(E)\) avec \(2 \le \dim(E) < \infty\) tel que \(\rang(u) = 1\). Montrer que \(\Pi_u = X^2 - \Tr(u)X\).
Comme \(\rang(u) = 1\), \(\dim(\ker(u)) = \dim(E) - 1\) par théorème du rang. Pour simplifier, on notera \(\dim(E) = n\). On a donc \(\dim(\ker(u)) = n - 1\). On construit alors la base de \(\ker(u)\) suivante : \(\mathcal B_{\ker(u)} = (e_1, \dots, e_{n-1})\). On complète cette base en une base de \(E\) en ajoutant un vecteur \(e_n \notin \ker(u)\), ce qui donne \(\mathcal B_E = (e_1, \dots, e_{n-1}, e_n)\) (par théorème de la base incomplète). On a alors \(u(e_n) \neq 0\) et \(u(e_i) = 0\) pour tout \(i \in \llbracket 1, n-1\rrbracket\). On peut donc écrire la matrice \([u]_{\mathcal B_E}\) de \(u\) dans la base \(\mathcal B_E\) : \[[u]_{\mathcal B_E} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_{n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_n \end{pmatrix}\] avec \(\alpha_n \neq 0\) car \(u(e_n) \neq 0\). On calcule alors la trace de \(u\) : \[\Tr(u) = \sum_{i=1}^n [u]_{\mathcal B_E}(i,i) = 0 + 0 + \dots + 0 + \alpha_n = \alpha_n\] On calcule ensuite \(u^2\) : \[[u^2]_{\mathcal B_E} = [u]_{\mathcal B_E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_{n-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_n \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_1 \alpha_n \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_2 \alpha_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_{n-1} \alpha_n \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \alpha_n^2 \end{pmatrix}\] On remarque que \([u^2]_{\mathcal B_E} = \alpha_n [u]_{\mathcal B_E}\), ce qui implique que \(u^2 = \alpha_n u\). Comme \(\alpha_n = \Tr(u)\), on obtient l’équation : \[u^2 - \Tr(u) u = 0\] Ainsi, le polynôme \(X^2 - \Tr(u) X\) est un polynôme annulateur de \(u\). Cela veut donc dire que \(\Pi_u\), le polynôme minimal de \(u\), divise \(X^2 - \Tr(u) X\). On a donc \(\Pi_u \in \{1, X, X - \Tr(u), X(X - \Tr(u))\}\). On élimine les choix suivants :
\(\Pi_u \neq 1\) car \(1(u) = \Id_E \neq 0\).
\(\Pi_u \neq X\) car \(u \neq 0\).
\(\Pi_u \neq X - \Tr(u)\) car \(u \neq \Tr(u) \Id_E\) (cela implique que \(\Tr(u) = 0\) et même que \(u = 0\)).
On en déduit que \(\Pi_u = X^2 - \Tr(u) X\).
Le degré d’un polynôme minimal \(\pi_a\) vaut \(1\) si et seulement si la famille \((1_E,a)\) est liée, c’est-à-dire si et seulement si \(a\) est un multiple scalaire de l’élément unité \(1_E\) (homothétie).
Dans ce cas, le polynôme minimal est \(\pi_a = X - \lambda\) avec \(\lambda \in \Kset\) tel que \(a = \lambda 1_E\).
Dans le cas contraire où \(a \ne \lambda 1_E\) pour tout \(\lambda \in \Kset\), le polynôme minimal \(\pi_a\) est de degré \(d \ge 2\) et la famille \((1_E, a)\) est libre. On résout alors \(a^2 = \lambda_0 1_E + \lambda_1 a\) pour voir si elle admet des solutions pour \(\lambda_0, \lambda_1 \in \Kset\). Si c’est le cas, on obtient \(\pi_a = X^2 - \lambda_1 X - \lambda_0\) et \(\dim(\Kset[a]) = 2\). Sinon, on continue avec \(a^3\) et ainsi de suite jusqu’à trouver un polynôme annulateur minimal.
En effet, il faut trouver le plus petit \(d \ge 1\) tel que \(a^d \in \Vect(1_E, a, \dots, a^{d-1})\). Le polynôme minimal \(\pi_a\) est alors de degré \(d\) et la famille \((1_E, a, \dots, a^{d-1})\) est une base de \(\Kset[a]\), car \(a^d = \sum_{i=0}^{d-1} \lambda_i a^i\) implique \(\pi_a = X^d - \sum_{i=0}^{d-1} \lambda_i X^i\).
Prenons \(E = \mathcal M_3(\R)\).
Soit \(a = \left(\begin{matrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{matrix}\right)\). Calculons \(\pi_a\).
On a \(a \ne \lambda I_3\) pour tout \(\lambda \in \R\), donc \(\deg(\pi_a) \ge 2\). On calcule : \[a^2 = \begin{pmatrix} 7 & -6 & 12 \\ -6 & 7 & -12 \\ 6 & -6 & 13 \end{pmatrix}, \quad\] On cherche \(\lambda_0, \lambda_1 \in \R\) tels que \(a^2 = \lambda_1 a + \lambda_0 I_3\). \[\lambda_1 a + \lambda_0 I_3 = \begin{pmatrix} 2\lambda_1 + \lambda_0 & -\lambda_1 & 2\lambda_1 \\ -\lambda_1 & 2\lambda_1 + \lambda_0 & -2\lambda_1 \\ \lambda_1 & -\lambda_1 & 3\lambda_1 + \lambda_0 \end{pmatrix}\] En comparant les coefficients, on obtient le système : \[\begin{cases} 7 = 2\lambda_1 + \lambda_0 \\ -6 = -\lambda_1 \\ 12 = 2\lambda_1 \\ -6 = -\lambda_1 \\ 7 = 2\lambda_1 + \lambda_0 \\ -12 = -2\lambda_1 \\ 6 = \lambda_1 \\ -6 = -\lambda_1 \\ 13 = 3\lambda_1 + \lambda_0 \end{cases}\] Donc \(\lambda_1 = 6\) et \(\lambda_0 = -5\). Ainsi, \(a^2 = 6a - 5I_3\), et le polynôme minimal est \(\pi_a(X) = X^2 - 6X + 5\). La dimension de \(\R[a]\) est donc \(2\), et une base est donnée par \((I_3, a)\).
Si \(\Kset\) est un sous-corps de \(\mathbb L\), alors on peut considérer que \(\mathbb L\) est une \(\Kset\)-algèbre. En particulier, \(\mathbb C\) est une \(\R\)-algèbre et \(\R\) est une \(\Q\)-algèbre.
On dit que \((\mathbb{L}, +, \times)\) est un corps si \((\mathbb L, +, \times)\) est un anneau et que \(\forall x \in L\setminus \{0_\mathbb{L}\}\), \(x\) est inversible pour la multiplication.
Un sous-corps est un sous-ensemble \(\mathbb{K} \subset \mathbb{L}\) qui est un sous-anneau de \(\mathbb{L}\) et qui est stable par l’inverse (pour un élément non nul).
Prenons \(E = \R\) une \(\Q\)-algèbre (ce qui est possible car \(\Q\) est un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de \(\R\))
Soit \(a = \sqrt 2 + \sqrt 3\).
Montrer que le polynôme minimal \(\pi_a\) existe et donner son expression.
On doit construire un polynôme dont les racines sont \(\sqrt 2 + \sqrt 3\) mais à coefficients rationnels. On a : \[\begin{align*} a = \sqrt2+\sqrt3 &\implies (a-\sqrt2)^2 = 3 \\ &\implies a^2 - 2a\sqrt2 + 2 = 3 \\ &\implies a^2 - 1 = 2a\sqrt2 \\ &\implies (a^2 - 1)^2 = 8a^2 \\ \end{align*}\] On en déduit que le polynôme \(P(X) = (X^2 - 1)^2 - 8X^2 = X^4 - 10X^2 + 1\) est annulateur de \(a\).
On a \(P \in \Q[X] \setminus \{0\}\) (et il est annulateur), donc \(\pi_a\) existe et \(\pi_a \mid P\).
Vérifions pour le cas \(\deg \pi_a = 1\). On vérifie si \(P\) admet des racines dans \(\Q\). Si \(\frac pq\) est une racine de \(P\) avec \(p\wedge q = 1\), alors \(p\mid a_0 = 1\) et \(q \mid a_4\) (résultat démontré en TD), donc \(p \mid 1\) et \(q \mid 1\), ce qui implique que \(\frac pq = \pm 1\). Or, \(P(\pm 1) = 1 - 10 + 1 = -8 \ne 0\), donc \(P\) n’admet pas de racines rationnelles. Par conséquent, \(\deg \pi_a \ge 2\).
Si \(\pi_a = D_1D_2\) et \(\deg D_1 = 3\), alors \(D_1\) admet une racine rationnelle \(\frac pq\) avec \(p\wedge q = 1\). Par le même raisonnement que précédemment, on obtient que \(\frac pq = \pm 1\), ce qui est impossible car \(P(\pm 1) \ne 0\). Donc \(\deg D_1 \ne 3\) et \(\deg \pi_a \ne 3\).
On en déduit que \(\deg \pi_a \in \{2,4\}\).
Supposons par absurde que \(\deg \pi_a = 2\). Cela implique que : \[\pi_a(X) = (X-a)(X-b)\] avec \(a = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \R\) et \(b \in \R\).
On a aussi \(P(-X) = P(X)\), donc \(-a\) est racine de \(P\). DOnc les racines de \(P\) sont \(\sqrt 2 \pm \sqrt 3\) et \(-\sqrt 2 \pm \sqrt 3\).
Dans le cas où \(b=-a\) : On a \(\pi_a(X) = (X-a)(X+a) = X^2 - a^2\). Or, \(a^2 = 5 + 2\sqrt 6 \notin \Q\), donc \(\pi_a \notin \Q[X]\) ce qui est absurde. Donc \(b \ne -a\). Donc \(\pi_a \ne X^2 - a^2\)
Dans le cas où \(b = \sqrt 3 - \sqrt 2\) : On a \(\pi_a(X) = (X-a)(X-b) = X^2 - (a+b)X + ab\). Or, \(a+b = 2\sqrt 3 \notin \Q\), donc \(\pi_a \notin \Q[X]\) ce qui est absurde. Donc \(b \ne \sqrt 3 - \sqrt 2\).
Dans le cas où \(b = \sqrt 2 - \sqrt 3\) : On a \(\pi_a(X) = (X-a)(X-b) = X^2 - (a+b)X + ab\). Or, \(a+b = 2\sqrt 2 \notin \Q\), donc \(\pi_a \notin \Q[X]\) ce qui est absurde. Donc \(b \ne \sqrt 2 - \sqrt 3\).
Donc \(\pi_a \ne X^2 - (a+b)X + ab\) pour \(b \in \{-a, \sqrt 3 - \sqrt 2, \sqrt 2 - \sqrt 3\}\).
On en déduit que \(\deg \pi_a \ne 2\).
Donc \(\pi_a = P = X^4 - 10X^2 + 1\).
Une base de \(\Q[a]\) est donc donnée par \((1, a, a^2, a^3)\) et \(\dim(\Q[a]) = 4\).
On peut aboutir aux mêmes résultats en généralisant pour un certain couple \((r_1,r_2)\) tels que \(r_1^2 = 2\) et \(r_2^2 = 3\) et en considérant \(a = r_1 + r_2\). On obtient le même polynôme minimal \(\pi_a = X^4 - 10X^2 + 1\).
Note La division euclidienne est conservée dans \(\Q[X]\) et même dans n’importe quel corps \(\Kset\) (pour justifier la division \(\pi_a = D_1D_2\)).
Éléments inversibles de \(\Kset[a]\)
Lorsque l’idéal \(I_a\) est réduit à \(\{0\}\), les seuls éléments inversibles de \(\Kset[a]\) sont les multiples scalaires de \(1_E\). \[\Uset(\Kset[a]) = \{\lambda 1_E \mid \lambda \in \Kset^*\}\]
En posant \(u : \Kset[X] \to \Kset[a]\) avec \(P \mapsto P(a)\) un isomorphisme. Comme \(u\) est un isomorphisme de \(\Kset[X] \to \Kset[a]\), \(u(P) = P(a)\) est inversible si et seulement si le polynôme antécédent \(P\) est inversible dans \(\Kset[X]\). Or, les seuls polynômes inversibles de \(\Kset[X]\) sont les polynômes constants non nuls. Donc \(P(a)\) est inversible si et seulement si \(P = \lambda \cdot 1_E \avec \lambda \in \Kset^*\), ce qui donne le résultat.
Dans le cas où \(I_a = \pi_a \Kset[X]\) avec \(\deg(\pi_a) = d \ge 1\), les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(P(a)\) est inversible dans \(E\).
\(P(a)\) est inversible dans \(\Kset[a]\).
\(P \wedge \pi_a = 1\).
On décompose la démonstration en trois implications : de 3 à 2, de 2 à 1 et de 1 à 3.
3 \(\implies\) 2 : Si \(P \wedge \pi_a = 1\), il existe \(U,V \in \Kset[X]\) tels que \(UP + V\pi_a = 1\). En évaluant en \(a\), on obtient \(U(a)P(a) + V(a)\pi_a(a) = U(a)P(a) = 1_E\), donc \(P(a)\) est inversible dans \(\Kset[a]\).
2 \(\implies\) 1 : Si \(P(a)\) est inversible dans \(\Kset[a]\), il existe \(Q(a) \in \Kset[a]\) tel que \(P(a)Q(a) = 1_E\). Comme \(\Kset[a] \subset E\), \(P(a)\) est inversible dans \(E\).
1 \(\implies\) 3 : Supposons \(P(a)\) inversible dans \(E\). Posons \(D = P \wedge \pi_a\), unitaire. Il existe \(P_1, P_2 \in \Kset[X]\) unitaires tels que : \[P = D P_1 \quad \text{et} \quad \pi_a = D P_2\] En évaluant en \(a\), comme \(\Kset[a]\) est commutatif : \[0 = \pi_a(a) = D(a) P_2(a) = P_2(a) D(a)\] On multiplie à droite par \(P_1(a)\) : \[P_2(a) \underbrace{D(a) P_1(a)}_{= P(a)} = 0 \implies P_2(a) P(a) = 0\] \(P(a)\) étant inversible dans \(E\), on multiplie à droite par son inverse \(P(a)^{-1}\) (comme on peut poser \(\exists y \in E\) tel que \(P(a) y = 1_E\)) : \[P_2(a) = 0\] Par minimalité de \(\pi_a\), il vient \(\pi_a \mid P_2\), c’est-à-dire \(D P_2 \mid P_2\). Comme \(P_2 \neq 0\), cela impose : \[\deg(D) + \deg(P_2) \le \deg(P_2) \implies \deg(D) = 0\] \(D\) étant unitaire, \(D = 1\), d’où \(P \wedge \pi_a = 1\).
Prenons \(E= \mathcal M_n(\R)\).
Soit \(M = \left(\begin{matrix} \alpha & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \ddots & (1) & \cdots & \vdots \\ \vdots & (1) & \ddots & (1) & \vdots \\ \vdots & \cdots & (1) & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \alpha\end{matrix}\right)\) avec \(\alpha \in \R\).
Déterminons quelles valeurs \(\alpha\) de \(\R\) permettent à \(M\) d’être inversible, et donnons son inverse.
On réécrit \(M\) comme un polynôme d’une matrice \(A\) : \[M = (\alpha - 1)I_n + A \avec A = \left(\begin{matrix} 1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots & \ddots & (1) & \cdots & \vdots \\ \vdots & (1) & \ddots & (1) & \vdots \\ \vdots & \cdots & (1) & \ddots & \vdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 1\end{matrix}\right)\]
On a donc \(M = P(A)\) avec \(P(X) = (\alpha - 1) + X\). On a vu dans l’exemple précédent que \(\pi_A(X) = X^2 - nX\). \(\pi_A \wedge P = 1\) si et seulement si \(P\) n’a pas de racines en commun avec \(\pi_A\), c’est-à-dire si et seulement si \(P(0) \ne 0\) et \(P(n) \ne 0\). On a donc : \[P(0) = \alpha - 1 \ne 0 \iff \alpha \ne 1, \quad P(n) = (\alpha - 1) + n \ne 0 \iff \alpha \ne 1 - n\]
Les conditions sur \(\alpha\) pour que \(M\) soit inversible sont donc : \[\alpha \ne 1 \quad \text{et} \quad \alpha \ne 1 - n\]
Pour déterminer la matrice inverse \(M^{-1}\), on utilise le théorème de Bézout puis on évalue en \(A\) : \[\pi_A \wedge P = 1 \implies \exists U, V \in \R[X] : U\pi_A + VP = 1\]
On effectue une division euclidienne de \(\pi_A\) par \(P\) pour déterminer les coefficients \(U\) et \(V\). On trouve : \[\pi_A(X) = P(X)(X - (n+\alpha -1)) + (n+\alpha -1)(\alpha - 1)\]
On peut donc réécrire : \[U(X)\pi_A(X) + V(X)P(X) = 1 \quad \text{avec} \quad U(X) = \frac{1}{(n+\alpha -1)(\alpha - 1)}, \quad V(X) = -\frac{X - (n+\alpha -1)}{(n+\alpha -1)(\alpha - 1)}\]
En évaluant en \(A\), on obtient : \[\cancel{U(A)\pi_A(A)} + V(A)P(A) = 1_E \implies V(A)\underbrace{P(A)}_{=M} = 1_E \implies M^{-1} = V(A)\]
D’où \(M^{-1} = -\frac{A - (n+\alpha -1)I_n}{(n+\alpha -1)(\alpha - 1)}\).
On peut aussi déterminer les conditions d’inversibilité en calculant le déterminant de \(M\), puis déterminer la matrice inverse en résolvant le système \(MX = I_n\).
Deux polynômes \(P,Q \in \R(X]\) sont premiers entre eux si et seulement s’ils n’ont aucune racines communes dans \(\C\) (pas seulement dans \(\R\)).
Montrer que l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure \(A \in \mathcal M_n(\Kset)\) est triangulaire supérieure.
Les matrices triangulaires supérieures forment une sous-algèbre de \(\mathcal M_n(\Kset)\).
Comme \(T_n^s(\Kset)\) forme une sous-algèbre de \(\mathcal M_n(\Kset)\), on a \(\Kset[A] \subset T_n^s(\Kset)\). Si \(A\) est inversible, alors \(A^{-1} \in \Kset[A] \subset T_n^s(\Kset)\), donc \(A^{-1}\) est triangulaire supérieure.
Si \(\pi_a\) existe alors : \[a \text{ inversible } \iff \pi_a(0) \ne 0\]
On écrit \(a = P(a)\) tel que \(P(X) = X\). Alors \(a\) est inversible \(\iff P \wedge \pi_a = 1\) si et seulement si \(\pi_a(0) \ne 0\).
Prenons \(E\) un \(\Kset\)-espace vectoriel et \(u \in \mathcal L(E)\) tel que \(\pi_u\) existe (ce qui est toujours le cas si \(\dim(E) < \infty\)). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(u\) est injective.
\(u\) est surjective.
\(u\) est bijective.
\(\pi_u(0) \ne 0\).
Avec \(\pi_u\) le polynôme minimal de \(u\) dans l’algèbre \((\mathcal L(E), +, \cdot, \circ)\).
Note Même dans un espace vectoriel de dimension infinie, on peut trouver des endomorphismes qui admettent un polynôme minimal. Par exemple, les projections ; qui vérifient \(u^2 = u\) et donc \(\pi_u(X) \mid X^2 - X\).
D’après l’exercice précédent, on sait que \(u\) est inversible si et seulement si \(\pi_u(0) \ne 0\). Or, \(u\) est inversible si et seulement si \(u\) est bijective. L’équivalence (iii) et (iv) est donc démontrée.
Supposons que \(u\) est injective. Montrons que \(\pi_u(0) \ne 0\). Si \(\pi_u(0) = 0\), alors \(0\) est une racine de \(\pi_u(X)\), donc \(\pi_u(X) = XQ(X)\) pour un certain polynôme \(Q \in \Kset[X]\).
En évaluant en \(u\), on obtient \(\pi_u(u) = uQ(u) = 0\). Comme \(u\) est injective, on a \(Q(u) = 0\) car \(\Imf(Q(u)) \subset \ker(u)\) et \(\ker(u) = \{0\}\) avec \(Q \ne 0\).
Cela veut dire \(Q\) annule \(u\) et \(\deg Q < \deg \pi_u\), donc \(\pi_u\) n’est pas de degré minimal, ce qui est absurde. Donc \(\pi_u(0) \ne 0\).
Supposons que \(u\) est surjective. Montrons que \(\pi_u(0) \ne 0\). Si \(\pi_u(0) = 0\), alors \(\pi_u(X) = XQ(X)\) pour un certain polynôme \(Q \in \Kset[X]\).
En évaluant en \(u\), on obtient \(\pi_u(u) = uQ(u) = 0\). On a alors \(uQ(u) = 0 \implies Q(u)u = 0\). On a donc \(\Imf(u) \subset \ker(Q(u))\). Comme \(u\) est surjective, on a \(\Imf(u) = E\), donc \(\ker(Q(u)) = E\) et \(Q(u) = 0\). Comme \(\deg Q < \deg \pi_u\), cela contredit le fait que \(\pi_u\) est de degré minimal. Donc \(\pi_u(0) \ne 0\).
Il faut aussi démontrer que (iii) \(\implies\) (i) et (ii), ce qui est évident ; si \(u\) est bijective, alors \(u\) est injective et surjective par définition.
Le reste des implications découle immédiatement de l’équivalence (iii) et (iv). On a donc montré que les quatre propriétés sont équivalentes.
Si \(\pi_a\) n’existe pas, alors \(\Kset[a]\) n’est pas un corps car \(\Kset[a] \simeq \Kset[X]\) et que : \[\begin{cases} X \text{ n'est pas inversible dans } \Kset[X] \\ a \text{ n'est pas inversible dans } \Kset[a] \\ a \ne 0 \text{ (parce que } \pi_a \text{ n'existe pas)} \end{cases}\]
Si \(\pi_a\) existe, les propriétés suivantes sont équivalentes :
\(\Kset[a]\) est un corps.
\(\pi_a\) est irréductible.
\(\Kset[a]\) est intègre.
Si l’algèbre \(E\) est intègre et \(\pi_a\) existe, alors :
\(\Kset[a]\) est un corps et \(\pi_a\) est irréductible.
\(\Kset[1] \subset E\) et \(E\) est intègre. Donc \(\Kset[a]\) est aussi intègre et d’après la remarque précédente, \(\Kset[a]\) est un corps et \(\pi_a\) est irréductible.
\(\R\) est considéré comme une \(\Q\)-algèbre et il est intègre, donc \(\forall a \in \R\), si \(\pi_a\) existe, alors \(\Q[a]\) est un corps et \(\pi_a\) est irréductible.
En particulier pour \(a = \sqrt 2 + \sqrt 3\), on a déjà vu dans l’exercice [exo:polynome-minimal-racines-carrees] que \(\pi_a = X^4 - 10X^2 + 1\) est irréductible dans \(\Q[X]\) et que \(\Q[a]\) est un corps.
Calculer les coordonnées de \((a-1)^{-1}\) dans la base \((1, a, a^2, a^3)\) de \(\Q[a]\).
Indication : Utiliser les coefficients de Bézout.
Utilisons les propriétés énoncées précédemment en posant \(P(X) = X - 1\). On a \(P(a) = a - 1\). Comme \(\pi_a\) est irréductible, on a \(P \wedge \pi_a = 1\). Il existe donc \(U, V \in \Q[X]\) tels que : \[U(X)P(X) + V(X)\pi_a(X) = 1\] On effectue une division euclidienne pour obtenir les coefficients de Bézout. On trouve : \[U(X) = \frac18(X^3 + X^2 - 9X - 9) \et V(X) = -\frac18\] En évaluant en \(a\), on obtient : \[U(a)(a-1) + V(a)\pi_a(a) = U(a)(a-1) = 1 \implies (a-1)^{-1} = U(a) = \frac18(a^3 + a^2 - 9a - 9)\] D’où les coordonnées de \((a-1)^{-1}\) dans la base \((1, a, a^2, a^3)\) de \(\Q[a]\) sont : \[\left(\frac{-9}{8}, \frac{-9}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)\]